7.2 KiB
+++ author = "FlintyLemming" title = "海明校验码" slug = "126cc71ce5234e699042036798edcf66" date = "2020-06-01" description = "" categories = ["Coding"] +++
在了解海明校验码之前，需要知道一个重要的概念——码距。
概念介绍-码距
码距是指是两个码字中不相同的二进制位的个数，举个例子，有两个编码，分别是01101101和01000101，可以发现，这两个编码有两位值不相同，所以他们的码距为2。 那么，你还有可能听到这么一个说法：“8421码码距d=1”，这里的码距指的是“该数据编码的最小码距”，是整个编码系统中中任意两个码字的码距的最小值。还有一个问题，使用四位二进制的编码系统，码距一定是1吗？显然不是，虽然用的是四位二进制编码系统，但是没有限定编写什么码字。如果我用这个编码系统只编写0000、0011、0101这三个码字，那么这个编码系统的码距就是2，因为这三个码子互相之间的码距最小值为2。
码字的结构
接下来，我还要介绍一下添加校验码后，整个码字的结构。码字包括信息位和校验位，这里设信息位的位数为k，校验位的位数为r，那么整个码字的长度就是k+r。
所需校验位的计算
对于校验位来说，需要有足够的位数来表示信息位中发生的错误，而海明校验码只表示信息位中一位的错误。 举个例子（并不是海明码的结构，不严谨，仅作理解），现在有信息位0110，那么，校验位就需要有四个状态分别表示信息位的第一、二、三或者第四位有误。那么校验位如果只有一位，0和1，并不能表示四种状态。我们试试两位：比如校验位我用00表示信息位第一位发生错误，01表示第二位发生错误，用10表示第三位发生错误，11表示第四位发生错误。看似没有问题，但是忘了一点：校验位如何表示信息位没有错误呢？所以其实我们需要4+1=5种情况来表示信息位的校验信息，即需要3位的校验位。 而对于海明码来说，数据位和校验位穿插，存在校验位可以“我 查 我 自 己”的情况，需要检查的位数就是k+r。所以对于k位的信息位，r位的校验位，需要满足2^r-1>k+r才能检查出1个位的错误。
确定校验码和数据的位置
上节提到，海明码的校验位和信息位是穿插的，所以我们需要确定校验位的各个位置。为了方便说明，我们给校验码定义为P1、P2、P3…；数据为定义为D1、D2、D3…；最终整个码字的编码依次为M1、M2、M3……那对于校验码Pi来说，它的位置是M[2^(i-1)]，比如P1的位置是M1、P2的位置是M2，P3的位置是M4，P4的位置是M8……那么剩下的就是数据的位置 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4 P4 D5
求出校验位的值（规律法）
这里以一个例子讲解，比如我们现在掌握如下信息
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10
P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4 P4 D5 D6
(空) (空) 1 (空) 0 1 1 (空) 0 1
表里可以看出已经给定了一组信息位的值，现在，我们先计算P1的值： 我们从P1开始，连续1个，中间间隔1个，再连续1个，组合成一个串： 【为了方便理解，我详细说一下上方加粗的过程：从P1（也就是对应的M1）开始，连续一个，就还是P1；然后间隔一个，就跳过M2；再连续一个，取M3的值；然后间隔一个，也就是跳过M4；再连续一个，取M5的值…以此类推，我们取了P1、3、5、7…的值，把它放在一个串里】 然后对这个串进行偶校验，也就是说，保证这个串中1的个数为偶数个，可以看到，已经有两个1了，所以我们在第一位补0： 这也就是我们得到的P1的值
为了加强理解，我们再计算一下P2的值： 我们从P2开始，连续2个，中间间隔2个，再连续2个，组合成一个串：
【为了方便理解，我再详细说一下加粗部分的过程：从P2（也就是对应的M2）开始，连续两个，就是M2、M3，取M3的值；然后间隔2个，跳过M4、M5；再连续两个，取M6、M7的值；再间隔两个，跳过M8、M9；再连续两个，取M10、M11…以此类推，我们取了M3、6、7、10的值】 然后同样进行偶校验，发现已经有4个1，所以补0： 这也就是我们得到的P2的值
同理，计算P3的过程中，我们从P3开始，连续3个，中间间隔3个，再连续3个，也就是取M4、5、6；跳过M7、8、9；取M10、11、12 然后进行偶校验，补0：
P4同理，最后补的是1： 这样，我们就依次获得了校验位的数据，P1-4依次为0、0、0、1
求出校验位的值（数学法）
还是用这一题： 第一步，我们要列出整个码字的编码对应的二进制。比如M1，1对应的就是0001；M2，就是0010；M3就是0011 观察这个二进制编码，以M3为例，0011，第一位和第二位都是1，那么我们称M3和P1、P2有关 第二步，我们要找到还有哪些和P1有关，可以发现，M1、3、5、7、9都和P1有关 第三步，以此类推，找出哪些和P2有关（可以找到M2、3、6、7、10），哪些和P3有关…… 第四步，去掉第一位（因为比如对于P1来说，M1、3、5、7、9中，M1并没有值），列出如下方程式： P1 = M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0 P2 = M3 ⊕ M6 ⊕ M7 ⊕ M10 = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0 P3 = M5 ⊕ M6 ⊕ M7 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ = 0 P4 = M9 ⊕ M10 = 0 ⊕ 1 = 1 便可以算出校验位的值
接收端校验
参考上一节求出校验位的值（数学法）中求P的过程，我们需要把P，和其相关的数据位相加，比如上面我们计算了P1 = M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0，这里我们就校验P1 ⊕ M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 是否等于 0，接着，依次计算P2 ⊕ M3 ⊕ M6 ⊕ M7 ⊕ M10、P3 ⊕ M5 ⊕ M6 ⊕ M7、P4 ⊕ M9 ⊕ M10是否都等于0，如果都是0，说明这个数据没有问题。 如果出问题了呢？下面举个例子： 还是上面那一题，如果M5在传输中发生错误，0变成了1 那么计算中就会发现： P1 ⊕ M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 = 1 P2 ⊕ M3 ⊕ M6 ⊕ M7 ⊕ M10 = 0 P3 ⊕ M5 ⊕ M6 ⊕ M7 = 1 P4 ⊕ M9 ⊕ M10 = 0 得出出错位为：0101(2)位，即第五位，那么，只要把M5的值反转，即可得到正确的字串。
海明码的码距
回到一开始说的码距问题，有题目会问，海明码的码距是多少？答案是3。为什么呢，其实我们不妨再观察一下用数学法计算校验位的过程： P1 = M3 ⊕ M5 ⊕ M7 ⊕ M9 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0 P2 = M3 ⊕ M6 ⊕ M7 ⊕ M10 = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0 P3 = M5 ⊕ M6 ⊕ M7 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ = 0 P4 = M9 ⊕ M10 = 0 ⊕ 1 = 1 不难发现，即使是靠前的数据位，比如M3、M5，都至少与两个校验位有关，所以变了一个数据位，会更改两个校验位，一共改变三个值。即可得出海明码的码距为3。